猫がアレルギー性の下痢を疑われました。ヒルズの療法食に変えるべきですか

皐月（質問主）

【ネコの下痢の食事療法について】
通常、朝と夜、1日2回排便をします。

2017/12/31の明け方に嘔吐10回程度と下痢1回があり、通院。口まわりの腫れが見つかり「原因は何かを舐めてしまった」ということで、薬を3日分処方されました。
帰宅後すぐに薬を飲ませたところ、嘔吐も下痢も落ち着き元気になりました。

しかし、1/18くらいから急に軟便になり、1/25には下痢（ドロっとした状態）になってしまいました。
（回数は常にいつもどおりです）

具合の悪そうな様子はなく、下痢以外は食事量・飲水量も通常、遊びの催促もありました。

1/26に1回目の通院。

その日は便を持って行かなかったため、検便はせずに触診だけで弱めの下痢止めと整腸剤を3日分もらいました。

しかし、薬での回復が見られず、

1/30に2回目の通院。

その日は前日の20時ごろの便を持っていったので、検便をしました。

結果、虫などの可能性はないとのことでした。

誤飲などであればもう少し体調を崩しているだろうし、その可能性も薄く、原因は不明だが確かにお腹の音はすごく中が発酵してしまっているとのことでした。

1回目のときよりも少し強い下痢止めと整腸剤、「食事を変えてみて」とのことでヒルズW/Dのサンプルを3日分いただきました。

おかげさまで、それから3日後には便も形になり下痢がおさまりました。

薬もサンプルの食事も切れてしまいましたが、下痢も落ち着いたので、またいつもの食事に戻し様子をみていました。

1週間くらいはいつもどおりの健康な便でしたが、
2/10にはまた下痢に。しかも前回と違うかなり水分の多いものでした。

2/12に3回目の通院。

当日の朝に採取できた便で検便をした結果やはり虫などの可能性はなく、考えられる原因としてはアレルギーとのことで、食事療法を勧められました。
（このとき、他の血液検査などはしていません）

前回のヒルズW/DかもしくはヒルズI/D。
プラス、2回目同様の下痢止めと整腸剤を3日分。

現在はヒルズI/Dと薬を飲ませ、様子を見ています。
（下痢はまだ落ち着いてはいません）

食事はどちらも食いつきがよく、これで下痢が治るなら食事を変えるのは賛成なのですが、疑問と不安かあります。

そもそもいままではグレインフリーのシンプリー というものを食べていたのですが、グレインフリーでもアレルギーになることはあるのでしょうか。

また、ヒルズには穀物（特にトウモロコシ）とセルロースが使用されています。
トウモロコシはアレルギーを引き起こしやすいと聞いたこともあり、食事療法と言いながらもただ餌で便を固めているのでは？と不安が拭い去れません。

確かに下痢はおさまるのかもしれませんが、ネコのトータルケアを考えたときにヒルズを食べ続けても問題ないのでしょうか。

先生のお考えをぜひお聞かせください。
何卒よろしくお願いいたします。