猫が口の中を痛がる仕草をするのですが、病院に行くべきですか

症状から口腔内に何らかの病気があることは間違いないかと思います。
考えられる異常としては，年齢的に歯周病，歯肉炎，口内炎，舌炎などがあります。
また猫の場合には，ウイルス性疾患やあるいは高齢猫では腎不全など内臓疾患から口内炎などを引きおこすこともあります。
治療法は原因や重症度によって異なり，抗生物質の投与や痛み止めで内科的にできる場合もありますが，全身麻酔下での処置が必要となることも考えられます。
高齢ですので全身状態を把握するための血液検査なども必要になるかと思います。
　
いずれにしても食欲があるのに食事が美味しく食べれなくなっている状態ですので，とても可哀想な状態です。さらにその症状が悪化すれば，食餌がとれなくなり，全身状態が悪化し，脱水症や腎不全などを併発する危険が高い状態です。
手遅れになってしまう前に動物病院を受診されることを強くお奨めします。